Алеф
Во второй половине XIX века немецкий математик Георг Кантор начинает вплотную заниматься темой бесконечности. Так как единая бесконечность никак не мыслится, он пытается уловить ее природу через понимание ее бесконечных частей.
Например, ряд любых чисел бесконечен. Если брать их как единую совокупность, это величина, стремящаяся бесконечно расширяться. При этом никакая цифра никогда не является ни нулем, ни бесконечностью. Это величина, стремящаяся к бесконечности.
Точка является промежуточным состоянием между ничем и величиной. Эвклид ее в «Началах» определил как «То, что не имеет частей». Она тоже стремится к бесконечности, но в отличие от цифры не вверх, к увеличению, а вниз, к уменьшению.
Из цифр и точек состоит бесконечность. Если понятия, и которых состоит целое, мыслятся, значит, есть надежда осмыслить и целое. Цифра и точка мыслятся. Значит, с бесконечностью можно работать. Предполагается, что развитие в этом направлении даст результаты, через которые можно выйти на понимание бесконечности как единого нечто.
Кантор рассуждает: если между элементами одного бесконечного ряда есть взаимное соответствие с элементами другого бесконечного ряда, значит, в двух этих рядах число элементов одинаковое, и эти бесконечности одинаковые. Если соответствия установить невозможно, значит, одна бесконечность меньше или больше другой.
На примере это выглядит так: представьте бесконечный ряд солдат. Параллельно ему стоит второй такой же бесконечный ряд солдат. Если каждый солдат может взять за руку соседа напротив, значит, число солдат в рядах одинаковое. На языке математики это означает, что два множества имеют одинаковую мощность. Если же парности установить не удается, значит, число солдат разное — мощность одного бесконечного ряда больше или меньше другого бесконечного ряда.
Кажется, бесконечный ряд натуральных чисел должен быть в два раза больше ряда четных (или нечетных) чисел. Но это только кажется. Половина бесконечности равна целой бесконечности. Бесконечный ряд натуральных чисел и бесконечный ряд четных (или нечетных) чисел равны — каждое число из одного ряда может взять за руку напротив стоящее число из другого ряда. Или говоря иначе, каждое число в любом ряду можно рассматривать как объект и по порядку пронумеровать: 1 2 3 4... Цифра из бесконечного ряда натуральных чисел возьмет за руку стоящую напротив цифру из бесконечного ряда нечетных (или четных) чисел.
Кантор делит все ряды чисел на счетные и несчетные множества. Счетные — когда можно посчитать от одной цифры до другой за конечное время. Сколько времени понадобится для счета, мгновение или миллиарды лет — значения не имеет. Главное, что можно начать счет и завершить его.
Несчетное множество — когда счет невозможно начать. Например, между двумя любыми натуральными числами бесконечно много вещественных чисел, то есть чисел, представляющих какую-то величину. И так как дна нет, цифру сколько не дели пополам, до нуля никогда не доделишь, выявить минимальное вещественное число невозможно.
Например, невозможно сказать, какое первое вещественное число идет после нуля. Никакое самое маленькое число, какое вы можете сочинить, не будет первым. Даже если после запятой написать количество нулей, которые заполнят всю Вселенную, 0,0000.....1, между нулем и этой цифрой по-прежнему будет бесконечно много более малых чисел.
Это касается не только нуля, а вообще любой цифры. Невозможно назвать первое вещественное число, идущее после любого другого числа. Счет невозможно начать. Можно только сказать, что между нулем и единицей, или меду числом 147 и 148 лежит бесконечно много вещественных чисел. Но так как все они умещаются между двумя натуральными числами, их совокупность называется конечным множеством.
Это вне привычного мира с его логикой, и вне нашего воображения. По логике, после нуля идет какая-то первая величина. Но никакая самая малая величина не может быть первой только в силу того, что всякая величина умозрительно делится пополам, и значит, не первая — не самая маленькая и далее неделимая.
Между нулем и первой после него цифрой видится аналогия между тем, что было до Большого взрыва, и первым мигом существования нашего мира. Как невозможно назвать цифру, которая больше нуля, но меньше всех остальных цифр, так невозможно установить первый миг существования нашей Вселенной. Тут снова вспоминается Парменид, который в своем труде «О природе» показал, что нет мостика между бытием и небытием. Нельзя представить, что нуль постепенно превращается в величину. Величина появляется сразу после нуля. Но что есть самая первая величина после нуля — в попытках осмыслить это и дать ответ мы, если понимает суть вопроса, на себе чувствуем дыхание бесконечности.
Даже в теории нельзя зафиксировать момент, когда ничто становится величиной. Тут видна непостижимость бытия. Оно монолитно и эту монолитность невозможно нарушить ни в одном месте. Но при этом оно имеет начало, до которого невозможно добраться.
Между счетным и несчетным множеством нельзя установить соответствия. Из этого следует, что несчетные множества бесконечно больше счетных — одна бесконечность больше другой. Кантор показал, что между бесконечностями есть иерархия — каждое последующее множество бесконечно больше предыдущего. Иерархия бесконечностей уходит бесконечно вниз и вверх. Совокупность бесконечностей — целая Бесконечность.
По Кантору, Бесконечность состоит из бесконечностей двух типов: множества величин и континуум-мощности — множества точек. Бесконечные ряды чисел могут быть равны и не равны друг другу. Континуумы (массивы) точек равны на любом объеме. Любое множество точек и чисел бесконечны, но при этом точек бесконечно больше.
На отрезке столько же точек, сколько на квадрате, построенном из этих отрезков. И это при том, что бесконечное число отрезков образуют квадрат. На кубе, построенном на основании этого квадрата, точек столько же, сколько и на отрезке. Как пишет сам Кантор, он не мог поверить своим расчетам. Но ошибки не было, и результат пришлось признать.
Бесконечность за рамками здравого смысла и законов существования. Допустим, мир состоит из бесконечного количества элементов, и мы их все пронумеровали. Число объектов с четными номерами равно числу объектов с нечетными — тут все нормально. Но как относиться к тому, что пронумерованных четными числами объектов столько же, сколько всех объектов? Факта, что половина бесконечности равна целой бесконечности, но от этого факта возникает интеллектуальный дискомфорт. Часть целого не может быть равна целому. А тут часть бесконечности и целая бесконечность равны.
Для оперирования бесконечными множествами Кантор придумал трансфинитные числа. Финитные числа — конечные величины. Приставка «транс» означает бесконечные величины. Из этих чисел он строит специальную трансфинитную арифметику.
Основа трансфинитной арифметики — первая буква еврейского алфавита «ℵ» (алеф). Думаю, Кантор не случайно взял именно эту букву. Мистики обозначают ею точку абсолютного знания, с которой видно все и понятно сразу, без объяснений.
Алеф — что-то типа нуля в десятичной системе, только в другом смысле. Обычные числа бесконечно делимы вглубь — ухватывают уходящую вниз бесконечность. Трансфинитные числа вывернуты наоборот, ухватывают уходящую вверх бесконечность.
Смысл трансфинитных чисел — отразить разные уровни бесконечности. Первое такое число называется алеф (ноль) — «ℵ0». Им обозначаются счетные множества, которые можно пронумеровать. Второе число алеф1 «ℵ1» — это 2ℵ1 (2 в степени «алеф1»), обозначающее первое несчетное множество. Следующее идет число алеф2 — это 3ℵ1 (3 в степени «алеф1»). И так далее. Последующее трансфинитное число бесконечно больше предыдущего. По Кантору эти числа в совокупности охватывают бесконечность.
У обычных чисел есть аналоги в реальном мире. Например, обычная единица выражает один предмет — одно яблоко. У трансфинитных чисел нет аналогов в нашем мире. Потому они и названы таким нечеловеческим термином. Число алеф1 больше, чем все элементарные частицы в видимой Вселенной. Число алеф2 — величина за границами воображения. Не создано множества, мощность которого отражала бы это число.
Нас не смущает тот факт, что любое натуральное число содержит в себе бесконечно много образующих его частей, и мы свободно оперируем ими. Но нас смущает, что любое трансфинитное число ухватывает бесконечность вверх. Если преодолеть это смущение, как утверждают математики, трансфинитными числами можно оперировать.
Теория множеств — нечто качественно новое, отличающееся от всех предыдущих штурмов бесконечности. Она имела глубину и гармонию, а ее единственным недостатком было несоответствие интуиции. Главное достижение Кантора: он показал, что есть разные бесконечности. И если они не равны, значит, ими можно оперировать.
Математическое сообщество живо интересуются новой теорией. В самом начале ХХ века Рассел выявил парадокс. Суть парадокса: все существующее можно поделить на два типа множеств. Одни не содержат себя в качестве своего элемента, другие содержат.
Пример первого типа множества: множество всех башмаков не является башмаком. Пример второго множества: множество всех множеств само является множеством. Первое не содержит себя в качестве своего элемента, а второе содержит.
По логике, любое множество принадлежит либо к первому, либо ко второму типу. Но если мы все множества первого типа объединим в отдельное множество, окажется, его нельзя будет отнести ни к первому, ни ко второму типу множеств.
Для описания своего парадокса Рассел выдумал город, где закон предписывает всем быть выбритыми. Но еще по закону брадобрей должен брить только тех, кто не бреет себя сам. Как брадобрей может быть бритым? Если будет бриться сам, то принадлежит к людям, кого ему брить нельзя. Это нарушение закона. Если же он не будет сам себя брить, то по закону его должен брить брадобрей, т.е. он должен брить себя сам.
До обнаружения парадоксов теории множеств Пуанкаре живо интересовался темой. После стал говорить, что это болезнь, от которой математику нужно лечить. Пуанкаре отказывается ее замечать и всем другим ученым предлагает делать вид, что никакой бесконечности нет. Тут Пуанкаре уподобляется профессору упомянутого Падуанского университета Кремонини, который предлагал не замечать того, что видно в трубу Галилея.
Как тут не вспомнить градоначальника Бородавкина, писавшего «...втихомолку устав о «неcтеснении градоначальников законами». Первый и единственный параграф этого устава гласил: «Ежели чувствуешь, что закон полагает тебе препятствие, то, сняв оный со стола, положи под себя. И тогда все сие, сделавшись невидимым, много тебя в действии облегчит». (Салтыков-Щедрин, «История одного города»).
Математический мир в отношении бесконечности колется по линии Кантора на два лагеря. Одни математики, во главе с Пуанкаре, мировой величиной на физическом и математическом небосклоне, отрицают ее. Пуанкаре говорит, что бесконечности не место в науке, потому что ею невозможно оперировать, и она только с толку сбивает.
Сторону Пуанкаре занимает Кронекер, учитель Кантора. Отрицая бесконечность, он обзывает своего ученика шарлатаном и растлителем молодежи. В этом же русле, но менее категорично против Кантора высказываются многие другие видные математики.
Другие мировые величины, во главе с Гильбертом, пребывают в восторге от идеи Кантора. Гильберт пишет: «Никто не изгонит нас из рая, который основал Кантор». Идеи Кантора выглядят для него «...заслуживающим удивления цветком математического духа и вообще одним из высших достижений чисто умственной деятельности человека». Крупные математики, Дедекинд и Фреге, льют Кантору елей и воскуряют фимиам.
Но у Гильберта признание теории Кантора странным образом соединяется с попыткой отрицать бесконечность. Он пишет: «Оперирование с бесконечным может стать надёжным только через конечное»; «Научное познание требует некоторые геометрически-наглядные представления». «Из того факта, что вне какого-либо куска пространства всегда снова имеется пространство, следует только неограниченность пространства, а не его бесконечность». Ни в коей мере не намереваясь умалить авторитет этого гениального математика, я все же скажу, что неограниченность и бесконечность — синонимы».
В будущем появится группа французских математиков под псевдонимом «Николя Бурбаки», намеренных перевести всю математику в трансфинитные числа. Кажется, затея не самая удачная. Посмотрите в интернете, как выглядит единица в их исполнении...
Сам Кантор вполне осознает масштаб поднятой темы. Он пишет: «Я различил актуально бесконечное в трех отношениях: во-первых, поскольку оно осуществляется в высочайшем совершенстве, независимом внемировом бытии, in Deo, где я называю его абсолютно бесконечным или просто абсолютным; во-вторых, поскольку оно обнаруживается в зависимом сотворенном мире; в-третьих, поскольку мышление может достигнуть его in abstracto как математическую величину, число или порядковый тип».
Всегда были люди, предлагающие предать забвению неудобоваримые идеи. Так как теория Кантора является именно такой, до сих пор в математических кругах звучат такие призывы. Типа, зачем нам вся это заумь, если есть масса нерешенных реальных задач.
Всегда есть люди, у кого неудобоваримые вызывают восторг, потому что они видят в них интеллектуальный вызов. Такие с упоением принимают вызов и погружаются в бой. Как сказал поэт «Есть упоение в бою». Эти люди пребывают в восторге от идей Кантора.
Как бы там ни было, сегодня они считаются одним из краеугольных камней высшей математики. В мире нет математического факультета, где не преподают теорию множеств. Благодаря ей математика отличает одно бесконечное множество от другого. Через них вышла на новые рубежи, и перед ней открылись новые горизонты. Но это не приблизило человечество к пониманию бесконечности. Теория множеств оперирует не с самой бесконечностью, а с переменными, стремящимися к бесконечности, с величинами «→ ∞».
Возможно, это первый шаг на пути к истине. Возможно, путь в никуда. Может быть, теория не развернула свой потенциал, и делает первые шаги на пути к бесконечности. Но также может быть, это просто модель, не пригодная дальше прикладного применения.
Лично мне не хватает знаний, чтобы оценить эту теорию. Поэтому я говорю, что не имею мнения по теории множеств. Пока склонен интуитивно и простодушно считать, что теория Кантора не охватывает онтологический масштаб бесконечности.
Я представлю бесконечность бескрайним полотном из ниток бесконечной длины и разной толщины. Теория Кантора оперирует с нитками. Она помогает науке растягиваться на этих нитках, одним концом устремляясь к минимуму, к точке, другим к максимуму к Целому. Но пока она не уловила ни сущности точки, ни сущности бесконечности.
Мое мнение близко к мнению Лобачевского о геометрии Эвклида: «Напрасное старание со времен Евклида, в продолжение двух тысяч лет, заставило меня подозревать, что в самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказать...».
Бесконечность не умещается ни в какую величину, и потому мыслители древности искали способ перешагнуть величину. Современные мыслители ищут способ перешагнуть бесконечность и мыслить величину. Ницше призывает добровольно капитулировать перед бесконечностью, не мыслить немыслимое и так наполнить бытие «радостью трагедии». На данный момент бесконечность продолжает оставаться для человечества недоступной тайной. «Мы знаем, что есть бесконечность, но мы не знаем ее природы» (Паскаль).